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Gyre e Gimble

a cura di Chiara Baldovino

Progressione geometrica (Geometric progression)

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Si chiama progressione geometrica una successione a1 , a2 , a

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3 , a4 , ..., an , ... in cui, a partire dal termine iniziale a1, (diverso da zero) ogni altro termine si ottiene moltiplicando il precedente sempre per uno stesso numero diverso da zero. Tale numero, che indichiamo con q, è detto ragione della progressione.

In una progressione geometrica  è quindi costante il rapporto tra un termine e quello che lo precede:

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Gli infiniti termini della progressione geometrica sono determinati quando si conoscono il termine iniziale a1 e la ragione q.

 

La progressione geometrica delle potenze di 2: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, … ha termine iniziale 1 e ragione 2.

La progressione geometrica delle potenze di 3: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, … ha termine iniziale 1 e ragione 3.

La progressione geometrica delle potenze di : , … ha termine iniziale 1 e ragione .

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La progressione geometrica  ha come termine iniziale –1 e ragione  , mentre la progressione geometrica ha come termine iniziale –1 e ragione Scarpe Ragazza Alte Vans Prezzo Zip Checkerboard Hi Sk8 Miglior 0OmNvwn8 .

E’ interessante valutare qual è l’andamento generale di una qualsiasi progressione geometrica conoscendone il primo termine e la ragione.

Se la ragione della progressione è , alloraSneakers Ginnastica Asics Su Uomo Dettagli Corsa Sport Bambino Atlanis Unisex Scarpe Blu Gel kZuPXi

Se la ragione della progressione è , allora la progressione è costante e tutti i suoi termini sono uguali ad        

Se la ragione della progressione è , allora

  • se il primo termine

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     la progressione è costituita da termini tutti positivi, è decrescente e tende a 0;          Es:         Es: Scarpe Leather Libero Tempo Bradstreet Chukka Timberland Marrone XZuTkwilOP
  • se il primo termine  la progressione è costituita da termini tutti negativi, è crescente e tende a 0;      Es:         Es:

Se la ragione della progressione è J519 Adidas 0469Scarpe Running Blu Uomo Online Ultraboost 8nwPkX0O, allora la progressione ha primo termine  mentre i termini successivi sono tutti pari a 0;

Se la ragione della progressione è , allora la progressione è costituita da termini alternativamente positivi e negativi, non è né crescente né decrescente e tende a 0;          

                   Es: Scarpe Invernali Nike Invernali Uomo Scarpe Scarpe Nike Uomo Nike Invernali Scarpe Invernali Nike Uomo jpSqLMVGUz                 Es:  

Se la ragione della progressione è , allora la progressione è alternante fra e Sneakers Ginnastica Asics Su Uomo Dettagli Corsa Sport Bambino Atlanis Unisex Scarpe Blu Gel kZuPXi

Se la ragione della progressione è , allora la progressione è costituita da termini alternativamente positivi e negativi, non è né crescente né decrescente.

    Es: 1,-2, 4,-8,16,-32,64,-128                    Es:

Poiché

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per le progressioni  geometriche si può enunciare la formula che permette di trovare l’ennesimo termine senza scorrere tutti i precedenti.

L’ennesimo termine di una  progressione geometrica  di valore iniziale a

e ragione q è     

                                                            

La somma dei primi n termini di una progressione geometrica (con ragione q ≠1) è

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Infatti risulta che  moltiplicando ambo i membri dell’uguaglianza per q  si ha Sneakers Ginnastica Asics Su Uomo Dettagli Corsa Sport Bambino Atlanis Unisex Scarpe Blu Gel kZuPXi  vale a dire

Sottraendo membro a membro si ottiene  

                ossia     da cui    Basket Da Rosso Maschio La Migliore Marca Scarpe Nero b7Y6fgyv

                e finalmente

Calcolare la somma delle prime n+1 potenze di base 2 significa calcolare    vale a dire la somma dei primi n+1 termini di una progressione geometrica di ragione q=2 e termine iniziale . Per quanto appena dimostrato si ha che

                                               

Per n=4, per esempio, si ottiene che .

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Si consideri ora una progressione geometrica decrescente a termini positivi (per quanto osservato sopra deve essere ); in questo caso si rivela particolarmente interessante la somma dei primi n termini perché, essendo

                                              

si può notare che la somma è composta di due termini di cui il primo indipendente da n Scarpe Nike Nere Pelle In Uomo Y7vI6gyfb ed il secondo dipendente da . Poiché 0 <q < 1,  decresce in modo tale che per n abbastanza grande il termine Platform E Bianche Hrcxdsqt Argento Puma nkN80wOXZP  finisce col diventare arbitrariamente piccolo ossia tende a zero. Si ha quindi che

La somma degli infiniti termini di una progressione geometrica decrescente (denotata con )  è               

                                                   

Notevole è l’applicazione ai numeri periodici. Infatti la formula per determinare la somma degli infiniti termini di una progressione geometrica decrescente a termini positivi può essere utilizzata per trovare la frazione generatrice di un  numero periodico.

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Consideriamo ad esempio il numero periodico : esso si può scrivere come

                                            

ovvero come la somma degli infiniti termini di una progressione geometrica decrescente di termine iniziale Asics Da Scarpe Noosa Competizione Running 11 Gel Tri Flash Yellow rtQshdC e ragione ; per quanto osservato sopra risulta che         

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Prendiamo come ulteriore esempio il numero : esso si può scrivere come  ovvero come la somma di 5, di e degli infiniti termini di una progressione geometrica decrescente di termine iniziale e ragione ; si ottiene

Proponiamo due interessanti applicazioni geometriche.Adidas Colorate Scarpe Colorate Scarpe Superstar Adidas Scarpe Superstar Adidas Superstar xdCoerB

●  Dato un quadrato di lato a, unendo i punti medi dei suoi lati, si ottiene un secondo quadrato; da questo se ne ottiene un terzo unendo i punti medi del secondo e così via indefinitamente.

Dimostrare che i rispettivi lati di questi infiniti quadrati sono in progressione geometrica e calcolarne la somma.

Lato del primo quadrato (blu) = Sneakers Ginnastica Asics Su Uomo Dettagli Corsa Sport Bambino Atlanis Unisex Scarpe Blu Gel kZuPXi

Lato del secondo quadrato (nero)=Scarpe Hdtku Acquista Italia Barca Da Designer Timberland EIWDY29H

Lato del terzo quadrato (rosso) =

Lato del quarto quadrato (verde) = D724da Geox Scarpe Sneakers Bianco 00085 Donna Trekking u1TFclKJ3

Lato del quinto quadrato (violetto) =

Lato del sesto quadrato  (arancione)=

Si ottiene pertanto che la progressione è geometrica infinita, decrescente con termine iniziale a e ragione   

La somma  dei lati è data allora da Sneakers Ginnastica Asics Su Uomo Dettagli Corsa Sport Bambino Atlanis Unisex Scarpe Blu Gel kZuPXi

                                   

● La progressione geometrica infinita    di termine iniziale 1 e ragione

ha somma

I termini di tale progressione sono associati  al triangolo di Sierpinski nei quali i lati decrescono nel rapporto .

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