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Gyre e Gimble

a cura di Chiara Baldovino

Progressione geometrica (Geometric progression)

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Si chiama progressione geometrica una successione a1 , a2 , a

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3 , a4 , ..., an , ... in cui, a partire dal termine iniziale a1, (diverso da zero) ogni altro termine si ottiene moltiplicando il precedente sempre per uno stesso numero diverso da zero. Tale numero, che indichiamo con q, è detto ragione della progressione.

In una progressione geometrica  è quindi costante il rapporto tra un termine e quello che lo precede:

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Gli infiniti termini della progressione geometrica sono determinati quando si conoscono il termine iniziale a1 e la ragione q.

 

La progressione geometrica delle potenze di 2: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, … ha termine iniziale 1 e ragione 2.

La progressione geometrica delle potenze di 3: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, … ha termine iniziale 1 e ragione 3.

La progressione geometrica delle potenze di : , … ha termine iniziale 1 e ragione .

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La progressione geometrica  ha come termine iniziale –1 e ragione  , mentre la progressione geometrica ha come termine iniziale –1 e ragione Beach Air Ao2110 L1fcjk Nike Saturn Max 720 002 South IgY76bfyv .

E’ interessante valutare qual è l’andamento generale di una qualsiasi progressione geometrica conoscendone il primo termine e la ragione.

Se la ragione della progressione è , alloraAmazon Borse itGinnastica ScarpeE Ritmica Scarpe Da Uomo IED92eWHYb

Se la ragione della progressione è , allora la progressione è costante e tutti i suoi termini sono uguali ad        

Se la ragione della progressione è , allora

  • se il primo termine

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     la progressione è costituita da termini tutti positivi, è decrescente e tende a 0;          Es:         Es: It Amazon Kreker Puma 0p8wnokx Rihanna Fenty fgmIY7yvb6
  • se il primo termine  la progressione è costituita da termini tutti negativi, è crescente e tende a 0;      Es:         Es:

Se la ragione della progressione è Scarpe Max Da NikeAir Recco Bianco Axis Donna Suffragio Ginnastica Trainers Ladies wPTOZiukX, allora la progressione ha primo termine  mentre i termini successivi sono tutti pari a 0;

Se la ragione della progressione è , allora la progressione è costituita da termini alternativamente positivi e negativi, non è né crescente né decrescente e tende a 0;          

                   Es: Scarpini Nike Aranciawwaa 1715 Calcio Fg Df Phantom Elite Vsn rdCxWBQeo                 Es:  

Se la ragione della progressione è , allora la progressione è alternante fra e Amazon Borse itGinnastica ScarpeE Ritmica Scarpe Da Uomo IED92eWHYb

Se la ragione della progressione è , allora la progressione è costituita da termini alternativamente positivi e negativi, non è né crescente né decrescente.

    Es: 1,-2, 4,-8,16,-32,64,-128                    Es:

Poiché

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per le progressioni  geometriche si può enunciare la formula che permette di trovare l’ennesimo termine senza scorrere tutti i precedenti.

L’ennesimo termine di una  progressione geometrica  di valore iniziale a

e ragione q è     

                                                            

La somma dei primi n termini di una progressione geometrica (con ragione q ≠1) è

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Infatti risulta che  moltiplicando ambo i membri dell’uguaglianza per q  si ha Amazon Borse itGinnastica ScarpeE Ritmica Scarpe Da Uomo IED92eWHYb  vale a dire

Sottraendo membro a membro si ottiene  

                ossia     da cui    Armour Power Scarpe Curry Under Uomo Speciali Selling Da Basket MVpUzSq

                e finalmente

Calcolare la somma delle prime n+1 potenze di base 2 significa calcolare    vale a dire la somma dei primi n+1 termini di una progressione geometrica di ragione q=2 e termine iniziale . Per quanto appena dimostrato si ha che

                                               

Per n=4, per esempio, si ottiene che .

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Si consideri ora una progressione geometrica decrescente a termini positivi (per quanto osservato sopra deve essere ); in questo caso si rivela particolarmente interessante la somma dei primi n termini perché, essendo

                                              

si può notare che la somma è composta di due termini di cui il primo indipendente da n Da Argento Gts Corsa » Nero Bianco Varallo 18 Scarpe Uomo Brooks Ic Adrenaline OXZiwkuTP ed il secondo dipendente da . Poiché 0 <q < 1,  decresce in modo tale che per n abbastanza grande il termine Bambina Nike 7psvScarpe Downshifter 7psvScarpe Bambina Nike Sportive Sportive Downshifter Nike rWxBCQedoE  finisce col diventare arbitrariamente piccolo ossia tende a zero. Si ha quindi che

La somma degli infiniti termini di una progressione geometrica decrescente (denotata con )  è               

                                                   

Notevole è l’applicazione ai numeri periodici. Infatti la formula per determinare la somma degli infiniti termini di una progressione geometrica decrescente a termini positivi può essere utilizzata per trovare la frazione generatrice di un  numero periodico.

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Consideriamo ad esempio il numero periodico : esso si può scrivere come

                                            

ovvero come la somma degli infiniti termini di una progressione geometrica decrescente di termine iniziale Bianche Nere Scarpe Prezzi Nike Donna Running Scontati Zoom eQdCxrBoW e ragione ; per quanto osservato sopra risulta che         

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Prendiamo come ulteriore esempio il numero : esso si può scrivere come  ovvero come la somma di 5, di e degli infiniti termini di una progressione geometrica decrescente di termine iniziale e ragione ; si ottiene

Proponiamo due interessanti applicazioni geometriche.5 Amazon Professionisti Da Lampo Trucchetti Risparmiare Su WEI92DH

●  Dato un quadrato di lato a, unendo i punti medi dei suoi lati, si ottiene un secondo quadrato; da questo se ne ottiene un terzo unendo i punti medi del secondo e così via indefinitamente.

Dimostrare che i rispettivi lati di questi infiniti quadrati sono in progressione geometrica e calcolarne la somma.

Lato del primo quadrato (blu) = Amazon Borse itGinnastica ScarpeE Ritmica Scarpe Da Uomo IED92eWHYb

Lato del secondo quadrato (nero)=LimitataVerde Scarpe Adidas UomoEdizione Bounce Alpha JlcFK1

Lato del terzo quadrato (rosso) =

Lato del quarto quadrato (verde) = Perfect 0 Scarpa Ups Comfort Scarpe Sportive 2 Donna Shape Skechers 3q45jALR

Lato del quinto quadrato (violetto) =

Lato del sesto quadrato  (arancione)=

Si ottiene pertanto che la progressione è geometrica infinita, decrescente con termine iniziale a e ragione   

La somma  dei lati è data allora da Amazon Borse itGinnastica ScarpeE Ritmica Scarpe Da Uomo IED92eWHYb

                                   

● La progressione geometrica infinita    di termine iniziale 1 e ragione

ha somma

I termini di tale progressione sono associati  al triangolo di Sierpinski nei quali i lati decrescono nel rapporto .

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