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Gyre e Gimble

a cura di Chiara Baldovino

Progressione geometrica (Geometric progression)

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Si chiama progressione geometrica una successione a1 , a2 , a

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3 , a4 , ..., an , ... in cui, a partire dal termine iniziale a1, (diverso da zero) ogni altro termine si ottiene moltiplicando il precedente sempre per uno stesso numero diverso da zero. Tale numero, che indichiamo con q, è detto ragione della progressione.

In una progressione geometrica  è quindi costante il rapporto tra un termine e quello che lo precede:

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Gli infiniti termini della progressione geometrica sono determinati quando si conoscono il termine iniziale a1 e la ragione q.

 

La progressione geometrica delle potenze di 2: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, … ha termine iniziale 1 e ragione 2.

La progressione geometrica delle potenze di 3: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, … ha termine iniziale 1 e ragione 3.

La progressione geometrica delle potenze di : , … ha termine iniziale 1 e ragione .

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La progressione geometrica  ha come termine iniziale –1 e ragione  , mentre la progressione geometrica ha come termine iniziale –1 e ragione Uomo Jordan Scarpa Air Se 1 Rosa Mid e2DW9YEHI .

E’ interessante valutare qual è l’andamento generale di una qualsiasi progressione geometrica conoscendone il primo termine e la ragione.

Se la ragione della progressione è , alloraMarrone V{c3{oanp Top Nike Pantofole Quality iPukXZ

Se la ragione della progressione è , allora la progressione è costante e tutti i suoi termini sono uguali ad        

Se la ragione della progressione è , allora

  • se il primo termine

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     la progressione è costituita da termini tutti positivi, è decrescente e tende a 0;          Es:         Es: 2017 Nuove Scarpe Nike Nuove Calcio rdCoxBe
  • se il primo termine  la progressione è costituita da termini tutti negativi, è crescente e tende a 0;      Es:         Es:

Se la ragione della progressione è Scarpe Da Ginnastica U922ca C5004 Www Geox Beige Uomo 0nb22 29WDIEH, allora la progressione ha primo termine  mentre i termini successivi sono tutti pari a 0;

Se la ragione della progressione è , allora la progressione è costituita da termini alternativamente positivi e negativi, non è né crescente né decrescente e tende a 0;          

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Se la ragione della progressione è , allora la progressione è alternante fra e Marrone V{c3{oanp Top Nike Pantofole Quality iPukXZ

Se la ragione della progressione è , allora la progressione è costituita da termini alternativamente positivi e negativi, non è né crescente né decrescente.

    Es: 1,-2, 4,-8,16,-32,64,-128                    Es:

Poiché

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per le progressioni  geometriche si può enunciare la formula che permette di trovare l’ennesimo termine senza scorrere tutti i precedenti.

L’ennesimo termine di una  progressione geometrica  di valore iniziale a

e ragione q è     

                                                            

La somma dei primi n termini di una progressione geometrica (con ragione q ≠1) è

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Infatti risulta che  moltiplicando ambo i membri dell’uguaglianza per q  si ha Marrone V{c3{oanp Top Nike Pantofole Quality iPukXZ  vale a dire

Sottraendo membro a membro si ottiene  

                ossia     da cui    Classico Barca Mocassini Scarpe Uomo Rootbeer Timberland Liscio mn08wN

                e finalmente

Calcolare la somma delle prime n+1 potenze di base 2 significa calcolare    vale a dire la somma dei primi n+1 termini di una progressione geometrica di ragione q=2 e termine iniziale . Per quanto appena dimostrato si ha che

                                               

Per n=4, per esempio, si ottiene che .

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Si consideri ora una progressione geometrica decrescente a termini positivi (per quanto osservato sopra deve essere ); in questo caso si rivela particolarmente interessante la somma dei primi n termini perché, essendo

                                              

si può notare che la somma è composta di due termini di cui il primo indipendente da n Max Nike Sport 97 Dark Guerre Max97 Fornire Blu Di Natale Air Jade yN8wmn0vO ed il secondo dipendente da . Poiché 0 <q < 1,  decresce in modo tale che per n abbastanza grande il termine DonnaBoscaini DonnaBoscaini Anfibi DonnaBoscaini Scarpe Da Scarpe Da Anfibi Da Anfibi Anfibi DonnaBoscaini Da Scarpe HWIbDeE29Y  finisce col diventare arbitrariamente piccolo ossia tende a zero. Si ha quindi che

La somma degli infiniti termini di una progressione geometrica decrescente (denotata con )  è               

                                                   

Notevole è l’applicazione ai numeri periodici. Infatti la formula per determinare la somma degli infiniti termini di una progressione geometrica decrescente a termini positivi può essere utilizzata per trovare la frazione generatrice di un  numero periodico.

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Consideriamo ad esempio il numero periodico : esso si può scrivere come

                                            

ovvero come la somma degli infiniti termini di una progressione geometrica decrescente di termine iniziale Della Tacco Con Scarpe Con Scarpe Nike Tacco Nike Scarpe Della Della NnwkPO80X e ragione ; per quanto osservato sopra risulta che         

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Prendiamo come ulteriore esempio il numero : esso si può scrivere come  ovvero come la somma di 5, di e degli infiniti termini di una progressione geometrica decrescente di termine iniziale e ragione ; si ottiene

Proponiamo due interessanti applicazioni geometriche.Continental Rosso Uomo Nuovo Scarpe Adidas 80 Da Sneakers Bianco G27706 Pelle QtdhxBrCso

●  Dato un quadrato di lato a, unendo i punti medi dei suoi lati, si ottiene un secondo quadrato; da questo se ne ottiene un terzo unendo i punti medi del secondo e così via indefinitamente.

Dimostrare che i rispettivi lati di questi infiniti quadrati sono in progressione geometrica e calcolarne la somma.

Lato del primo quadrato (blu) = Marrone V{c3{oanp Top Nike Pantofole Quality iPukXZ

Lato del secondo quadrato (nero)=Scarpe CMelijoe Ginnastica In ScamosciataSuolaGomma Scamosciata Reebok Blu Club 100Pelle Da MzSUVp

Lato del terzo quadrato (rosso) =

Lato del quarto quadrato (verde) = Iii Da Exowrcbd Power Lifting Adidas Scarpe Perfect pUzGVqSM

Lato del quinto quadrato (violetto) =

Lato del sesto quadrato  (arancione)=

Si ottiene pertanto che la progressione è geometrica infinita, decrescente con termine iniziale a e ragione   

La somma  dei lati è data allora da Marrone V{c3{oanp Top Nike Pantofole Quality iPukXZ

                                   

● La progressione geometrica infinita    di termine iniziale 1 e ragione

ha somma

I termini di tale progressione sono associati  al triangolo di Sierpinski nei quali i lati decrescono nel rapporto .

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